А. Скромницкий. Математика у инков.

Математика инков — система воззрений жителей Андского региона Южной Америки, проживавших в Империи инков. Ведение подсчётов и вычислений осуществлялось на счётном устройстве юпана (существовало несколько разновидностей), хранение и воспроизведение — в кипу. Кипу также служило для статистического сбора информации (как правило, это были большие объёмы числовых данных похожие на двоичную систему, имеющую 128 вариаций[1]) и было равнозначно европейскому нотариальному акту. Кипу сберегалось в хранилищах, с приставленным штатом государственных чиновников — кипукамайоков. Вычисления также осуществляли инкские учёные (философы, астрологи, астрономы) — амаута (кечуа amauta — «мудрец»), учителя — йачачик, и поэты — «аравеки». Обучение велось в школах для детей знати и чиновников — ячайваси («дом знания»). Подобием университета была главная школа в столице империи — Куско. Почётным именем у инков было — Юпанки, восходящее к слову «вычислять»; такое имя носили некоторые правители: например, Пачакутек Юпанки — великий реформатор, завоеватель и первый исторически достоверный правитель у инков.

Математика инков вобрала в себя изобретения двух с половиной тысячелетий существования всех предшествующих цивилизаций Перу: Чавин (праматерь всех южноамериканских культур — 800—200 до н. э.), Паракас (кипу, ткацкое дело — 800 до н. э.—200 н. э.), Тиауанако (500 до н. э.-1000 н. э.), Наска (300 до н.э — 800 н. э.), Моче (100—700), Уари (знаки токапу — 500—800), Сикан (700—1300), Чиму (1000—1500) и многих других. Время и место изобретения юпаны пока в точности неизвестны.

Основные сведения сохранились в книгах «Подлинные комментарии» (1609) Гарсиласо де ла Веги и «Exsul Immeritus Blas Valera Populo Suo» Бласа Валера (1618).

Содержание

* 1 Система чисел
o 1.1 Ноль
* 2 Обучение
o 2.1 В школе
o 2.2 В университете
o 2.3 Сложение
o 2.4 Умножение
* 3 Основные принципы и особенности
* 4 Счёт
o 4.1 Юпана
+ 4.1.1 Геоюпана
o 4.2 Кипу
* 5 Измерения и вычисления
o 5.1 Универсальное средство измерения
o 5.2 Календарные вычисления
o 5.3 Астрономические измерения
* 6 Значение математики инков для науки
* 7 Примечания
* 8 Литература
o 8.1 Первичные источники
o 8.2 Литература
o 8.3 Исследования
* 9 См. также
* 10 Ссылки

Система чисел

В исторических хрониках в основном говорится о десятичной системе (и пятеричной), существовавшей у инков, например в подчинении населения (семей) определённым государственным чиновникам:
Должность Количество семей
Puriq 1 семья
Pichqa kamayuq 5 семей
Chunka kamayuq 10 семей
Pichqa chunka kamayuq 50 семей
Pachaka kamayuq 100 семей
Pichqa pachaka kamayuq 500 семей
Waranqa kamayuq 1000 семей
Pichqa waranqa kamayuq 5000 семей
Hunu kamayuq 10 000 семей

Также подтверждение десятичной системе можно найти в сведениях хронистов об узлах в кипу: единицы, десятки, сотни, и т. д.[2].

В современном кусканском варианте языка кечуа используется десятичная система:

Числа Кечуа Числа Кечуа Числа Кечуа

1 Huk 11 Chunka hukniyuq 30 Kimsa chunka
2 Iskay 12 Chunka iskayniyuq 40 Tawa chunka
3 Kimsa 13 Chunka kimsayuq 50 Pisqa chunka
4 Tawa 14 Chunka tawayuq 60 Suqta chunka
5 Pisqa 15 Chunka pisqayuq 70 Qanchis chunka
6 Suqta 16 Chunka suqtayuq 80 Pusaq chunka
7 Qanchis 17 Chunka qanchisniyuq 90 Isqun chunka
8 Pusaq 18 Chunka pusaqniyuq 100 Pachak
9 Isqun 19 Chunka isqunniyuq 1000 Waranqa
10 Chunka 20 Iskay chunka 1 000 000 Hunu

Ноль

В империи инков Тауантинсуйу для записи числовой информации использовалась узелковая система кипу, основанная на позиционной десятиричной системе счисления. Цифры от 1 до 9 обозначались узелками определённого вида, ноль — пропуском узелка в нужной позиции. В современном языке ноль обозначается словом кечуа ch’usaq (букв. «отсутствующий», «пустой»), однако то, какое слово использовалось инками для обозначения нуля при чтении кипу, пока неясно, поскольку, например, в одних из первых кечуа-испанских (Диего Гонсалес Ольгин, 1608) словарях и первом аймара-испанском (Лудовико Бертонио, 1612) не было соответствия для испанского «cero» — «ноль».

В Старом Свете (Европа, Индия) отсутствие названия для нуля косвенно свидетельствовало об использовании счёт, где пропуск числового значения или отсутствие числа не требовало применения для него (нуля) особого названия.

Обучение

В школе
Юпана инков. Песня Сумак Ньюста. Дешифровка по книге «Exsul Immeritus Blas Valera Populo Suo», CLUEB, Болонья, 2007 (Схематическая реконструкция А.Скромницкого).

Одно из наиболее пространных сообщений об обучении в школах находится в книге «Подлинные комментарии» Инки Гарсиласо де ла Веги (1609):

[Валера] говорит, что [Инка Рока] был первым, кто создал школы в королевском городе Коско, чтобы амауты обучали достигнутым ими наукам принцев инки и других [юношей] королевской крови и знати его империи, [но] не с помощью письма (letras), которого у них не было, а путем практики и ежедневных повторений (uso cotidiano) и путем опыта, добиваясь, чтобы они знали ритуалы, заветы и церемонии своей ложной религии, чтобы они понимали смысл и обоснование своих законов и прав и знали бы их количество и подлинное толкование; чтобы они овладевали бы даром умения управлять и были бы более учтивыми и освоили бы самое высокое маcтерство в военном искусстве; чтобы они познакомились с [понятием] времени и года и умели бы узнавать по узлам [кипу] истории и как их толковать; чтобы они умели говорить красиво и элегантно и умели бы восgитывать своих сыновей, управлять своими домами. Их обучали поэзии, музыке, философии и астрологии, во всем этом [тому] немногому, чего достигла каждая наука. Учителей они называли амаутами, что значит философ и ученый; они пользовались исключительным почтением.

— Инка Гарсиласо де ла Вега. «История государства Инков», – Л., 1974, книга Четвертая, Глава XIX, стр.231-232

Как писал в своей тетради «Exsul Immeritus Blas Valera Populo Suo» метис Блас Валера (1618), обучение математике в школах производилось следующим образом:

/стр.9v/В ячайваси, кроме ткачества и вышивки, королевским и знатным юношам преподавали изучение юпаны и кипу и их взаимосвязь; короче говоря, они устанавливали камушки и из камней составляли узлы, занимаясь и тем, и тем, и занося одно в другое и наоборот. Я изучил их в детстве и хотел напомнить это в рисунке, представленном в уже упомянутой «Новой Хронике».

— Exsul immeritus blas valera populo suo e historia et rudimenta linguae piruanorum. Indios, gesuiti e spagnoli in due documenti segreti sul Perù del XVII secolo. A cura di L. Laurencich Minelli. — CLUEB, Bologna, 2007; p. 370

Использование вышеупомянутой юпаны было обязательным и непременным условием образования учеников. Правда, Валера не раскрыл характер арифметической системы в юпане, раскрыв лишь секрет сакрального характера вычислений на юпане для смыслового стихотворного кипу с песней Сумак Ньюста (представленной также в книге Гарсиласо де ла Веги «Подлинные комментарии» (1609)):

Я надеюсь, что эта моя работа когда-нибудь увидит свет и в ней можно заметить похожую доску; юпана показана [в той работе (то есть в «Новой Хронике» Гуамана Пома де Айяла)] под счетоводом. По некоторым причинам не удается письменно пояснить отличие арифметического приёма вышеупомянутых счет, так же, как и народной песни Sumac Ñusta, который спрятан [в этой работе].

Ученик, который уже выучил на память Sumac Ñusta, получал задание заняться составлением песни при помощи кипу, наблюдая за 23-мя ключевыми словами; это — знаки, которые он сам же и ткал. Все это было началом; потом он высчитывал на юпане тридцать два белых шара, это — узлы и дополнения, которые он был должен составить, чтобы получить [нужные] слоги; последние служили для спряжения и склонения, а также для полного составления песни, завязанной в кипу; таким образом в шнурах он читал то, что было нужно сделать, дабы подтвердить, что числовой ключ состоял из двадцати трех и из тридцати двух; так он занимался; и, вычисляя, путем умственной деятельности, становился аравеком [то есть поэтом]. Перья, вставленные в конечные кольца, определяли, какие линии были предназначены для осуществления операций; шнур, украшенный зеленым камушком, похожим на цилиндр указывает, что было нужно производить вычитание в горизонтальном порядке. Напротив, четвертый и шестой шнур дважды определяют число ключевых слов. Такая операция была результатом нескольких лет обучения, поскольку в вышеуказанных счётах не может существовать позиции, а только классы единиц и десятков. Только в ячайваси так изучалась арифметика, стройность слогового кипу.
Итак, вышеприведенное вычисление таково: 87+37=124; 46+46=92; 124-92=32.
Как только было показано приемлемое числовое значение для составления Sumac Ñusta, ученик переходил к тому, чтобы завязывать ее в королевском кипу.

— Exsul immeritus blas valera populo suo e historia et rudimenta linguae piruanorum. — CLUEB, Bologna, 2007; p. 370-371

В университете

О наличии у инков некоего подобия университета и разнообразии «письменности» имеются сведения у хрониста Фернандо де Монтесиноса в его «Памятных сведениях» (1642—1644):

Тогда царь скрыл свои чувства, и совершил великие жертвоприношения и спрашивал Ильятиси Виракочу. Ответ был, что причиной заразной болезни были буквы, и чтобы никто их не использовал и вновь к ним не возвращался, ибо от их использования они должны будут претерпеть наибольший ущерб. Из-за этого Топа Каури установил законом, чтобы под страхом смерти никто не имел бы дела с килькой [quilca], которая была пергаментами и листьями определенных деревьев, на которых они писали, и чтобы никоим образом не пользовались письмом. Этот оракул, его они соблюдали с такой тщательностью, что после этой утраты перуанцы никогда не пользовались буквами, так что когда некоторое время спустя один мудрый амаута изобрел некие /64/ знаки, его сожгли живьем, и так с тех пор использовали нить и кипо с различиями, как мы увидим.
Он также устроил в Пакаритамбо [Pacaritambo] подобие университета, где знатные заботились об упражнениях в военном деле и о мальчиках. Их обучали способу считать при помощи кипо, добавляя разные цвета, которые служили буквами, из-за чего было облагорожено их маленькое государство.

— Фернандо де Монтесинос. «Древние исторические и политические памятные сведения о Перу», Глава 15, стр.64

Сложение

Юпана инков. Песня Пачамама. Дешифровка по книге «Exsul Immeritus Blas Valera Populo Suo», CLUEB, Болонья, 2007 (Схематическая реконструкция А.Скромницкого).

Важное сведение о сложении также представлено Бласом Валера:

Поскольку в прошлом для людей Тауантинсуйу вычисление было благородным искусством, помимо полезности своего назначения, я помню, что кипукамайок разработали мирайпакипу [кипу сложения], которое было лучше, чем юпана, ввиду его удобства для сложения и переноски. Не менее изобретательно, они, вновь и вновь испытывая его, вычислили, что, добавляя всегда одни и те же единицы, удавалось получить один и тот же результат. Следовательно, развивая изобретательность, они обнаружили метод быстро облегчить сложение: в полностью белом кипу, составленном из восьми тонких веревок, они осуществляли сложение от двух до девяти с помощью узлов двух разных цветов. Я воспроизвожу только тонкую веревку, четвертую по порядку, чтобы показать как изобретательность, так и результат, выделявшийся только кипукамайоком, то есть: у положения узлов, здесь, не было привычного значения, поскольку значение определялось цветом: зеленые — это единицы, красные — это десятки.

— Exsul immeritus blas valera populo suo e historia et rudimenta linguae piruanorum. — CLUEB, Bologna, 2007; p. 377

Умножение

Об умножении в тетради Бласа Валера сохранилась следующая запись:

Все упомянутые кипу рассказывают о сумме и вычитании, но мои предки знали умножение, которое выполнялась при помощи юпаны — она имеет форму глиняных, деревянных или из другого материала счет. Умножение осуществлялось с помощью окрашенных камушков, зерен киноа, и т. п. Юпаной осуществлять вычитание и сложение очень легко, потому что, сочтя её за основу, он похож на кипу со многими тонкими веревками, в котором квадраты доски соответствуют свисающим тонким веревкам и камушкам разнообразных цветов и форм в узлах; в самом деле, поскольку в кипу нуль — это тонкая веревка без узлов, так же и в юпане квадрат остается пустым. Точно также легко обстоит дело с умножением, специалистами в котором были кипукамайоки [учетчики кипу] и чурапукен [хранители (кипу)], вносившие итоговые числа частично в кипу.

— Exsul immeritus blas valera populo suo e historia et rudimenta linguae piruanorum. — CLUEB, Bologna, 2007; p. 369

Основные принципы и особенности

* понятия «нуля» у народов кечуа не было, вместо него использовалось слово «ничего нет», «ничто», «пусто».

* понятие сотни — pachaq — воспринималось не как 1 с двумя нулями, то есть 1 0 0, а как единица представленная сто раз (1+1+1+…1)[3].

* понятие «чёт/нечёт» — существовали такие слова: пара вместе; четыре вместе с одним; один после четырёх; один из четырёх (или принадлежащий четырём/четвёрке); больше шести (из дважды по три)[4].

* число 15 это: дважды по пять плюс четыре (5+5+4)[5].

* число 4 — нечётное, поскольку не является целым числом «5», у которого «недостаёт» единицы для полноты, этакой «чётности/цельности»[6]. Также о чет/нечет можно сказать, что «чёт» — это первичная категория[7].

* пять (pichqa) может называться «старое четыре/предыдущее четыре/устаревшее четыре/идущее позади четыре» (tawaq ñawpaqin). Вот это слово ñawpaq и выполняет роль этого «старого/позади оставшегося» числа. Ньявпа — это и прошлое и находящееся позади. У Доминго де Санто Томаса (1560) названия пальцев идут по принципу: «старший/старейший палец» и «следующий за ним» (1 и 2-ой), «средний палец и следующий за ним» (3 и 4), то есть идут как пары, а потом — «младший» (5 палец), как бы отдельно[8].

* названия рук: «десятка» — это «пять и пять»[9].

* порядок счета на пальцах/«подсёта социальных групп айлью» — сначала считается правая рука/сторона от 1 до 5, потом левая — от 6 до 10. Главное/Верхнее Айлью (Hanansaya — то есть род у инков) садилось всегда по правую сторону, а Нижнее айлью — по левую сторону, и оно было подчинённым Верхнему. Самый маленький палец левой руки — является последним в счёте на пальцах, то есть цифрой 10. Также модель: старший/1, а младший/5. То есть мама = 1 «uj» (один), или «uj kaq» (первый)[10].

* система «вилы»: ответвления/отверстия. В пятижильных вилах четыре отверстия, они также называются «пятипалыми» или «мать-вилы». То есть вилы — это как бы рука. Система ответвлений/отверстий/парности. Мать/мама — это единое целое, единица[11].

* названия цветов радуги обозначались практически числами: темно-фиолетовый — «мама»/«верхняя вещь», коричневый — «нижняя вещь», жёлтый — «следующая», зелёный — «следующая», розовый — «следующая», бледно-жёлтый — «последний» (теряющий насыщенность цветности). Вывод: «мама» — начало как цветам, так и числам[12].

Счёт

Юпана

Основная статья: Юпана

Геоюпана

Геоюпана представляла из себя трёхмерную модель местности. Сведения о ней известны, как из археологических раскопок, так и из тетради Бласа Валера:

Мудрецы знают, что юпана — это [про]образ Пачамамы, символически сплетенный uru [пауком] своими двумя раздвоенными лапками. О народ Тауантинсуйу, таким образом мудрец спускает с неба в юпану при помощи белых, черных и разноцветных камней, десятки, единицы, ключевые слова, слоги и украшения [оформление]. О народ Тауантинсуйу, после того, как мудрец вдохновился словами Божества, упорядочив и построив своё селение [построенное] из камней на юпане, он сообщает число камней, выстроенных в каждом ряду, и воспроизводит эти ряды в тонких свисающих веревках [кипу], завязывая [их] снова. Следовательно: I) слоговое кипу — это музыка, нисходящая из Hananpacha (Ананпача — Верхний мир-время) через тростниковые [трубки] muncaynim [свирели]; II) юпана — это Пачамама со своими мужскими и женскими ваками, где мудрец должен словить amaru [змея], великого разрушителя; и III) превратить его [змея], в виде тонких свисающих веревок, в жизненный дух [дуновение, дыхание], исходящее из этих же тонких свисающих веревок, а они [в свою очередь] превращаются в звук Praequepa [то есть буцина — боевая труба у древних римлян]. Таким образом гармония природы поддерживает и свою силу, и своё равновесие.

— Exsul immeritus blas valera populo suo e historia et rudimenta linguae piruanorum. Indios, gesuiti e spagnoli in due documenti segreti sul Perù del XVII secolo. A cura di L. Laurencich Minelli. — CLUEB, Bologna, 2007; p. 394

Кипу

Кипу — основа административного управления в Империи инков.

Основная статья: Кипу

Измерения и вычисления

Основная статья: Система счёта, мер и весов инков

Универсальное средство измерения

У инков существовало универсальное «средство измерения любой вещи» — тупу.

Термин тупу, ввиду своей универсальности, образовывал и философские, абстрактные понятия:

* Tupuyoc — измеряемый предел, конец (мира).
* Mana tupuyock или tupunnak — бесконечность, недостижимое, безмерное.[13]

Календарные вычисления

Основная статья: Календарь инков

Астрономические измерения

Основная статья: Астрономия инков

Значение математики инков для науки

Этот раздел статьи ещё не написан.

Примечания

1. ↑ http://indiana.com.ua/khipu-quipu-upana/

2. ↑ Alfabetos de ayer y de hoy, Quipu

3. ↑ Gary Urton. The Social Life of Numbers. стр.50
4. ↑ Gary Urton. The Social Life of Numbers. стр.59
5. ↑ Gary Urton. The Social Life of Numbers. стр.60
6. ↑ Gary Urton. The Social Life of Numbers. стр.60
7. ↑ Gary Urton. The Social Life of Numbers. стр.61-63
8. ↑ Gary Urton. The Social Life of Numbers. стр.75-76
9. ↑ Gary Urton. The Social Life of Numbers. стр.77-78
10. ↑ Gary Urton. The Social Life of Numbers. стр.78=79
11. ↑ Gary Urton. The Social Life of Numbers. стр.81-83
12. ↑ Gary Urton. The Social Life of Numbers. стр.90-93
13. ↑ Диего Гонсалес Ольгин. Словарь языка кечуа. 1608 г.

Литература

Первичные источники

В хронологическом порядке:

* Херес, Франсиско де. Завоевание Перу и провинции Куско.

. www.vostlit.info (Восточная литература). — Отрывки. Проверено 28 сентября 2009.
* Педро Сьеса де Леон. Хроника Перу. Часть Первая.

. www.bloknot.info (А. Скромницкий) (2008-07-24). — пер. А.Скромницкий. Проверено 27 сентября 2009.
* Педро Сьеса де Леон. Хроника Перу. Часть Вторая: Владычество Инков.

. www.bloknot.info (А. Скромницкий) (2009-01-14). — пер. А.Скромницкий и Valery Melnikoff. Проверено 27 сентября 2009.
* Педро Сьеса де Леон. Хроника Перу.

. www.vostlit.info (Восточная литература). — отрывки в пер. Шишовой. Проверено 28 сентября 2009.
* Хуан де Бетансос, 1516—1576, «Повествование и Общее количество Инков», 1551.
* Овьедо-и-Вальдес, Гонсало Фернандес де. Всеобщая и естественная история Индий.

. www.vostlit.info (Восточная литература). Проверено 28 сентября 2009.
* Лас Касас, Бартоломе де. Кратчайшее сообщение о разрушении Индий.

. www.vostlit.info (Восточная литература). Проверено 28 сентября 2009.
* Лас Касас, Бартоломе де. История Индий.

. www.vostlit.info (Восточная литература). Проверено 28 сентября 2009.
* Сарате, Агустин де. История открытия и завоевания Перу.

. www.vostlit.info (Восточная литература). — Отрывки. Проверено 28 сентября 2009.
* Хуан Поло де Ондегардо-и-Сарате. Заблуждения и суеверные обряды индейцев, извлечённые из трактата и расследования, сделанного лиценциатом Поло (1559).

. www.bloknot.info (А.Скромницкий) (2010-01-03). — Доклад по вопросам верований индейцев Перу; освещены вопросы астрономии. Проверено 3 января 2010.
* Анонимный автор. Доклад о религии и обрядах Перу, составленный первыми священниками Августинцами, направившимися туда для обращение местных жителей в христианство (1560).

. www.bloknot.info (А.Скромницкий) (2009-09-28). — Религия Анд. Мифология Инков и жителей Вамачуко (Центральное Перу). Проверено 28 сентября 2009.
* Титу Куси Юпанки. Документы Диего де Кастро Титу Куси Юпанки (1565-1570).

. www.bloknot.info (А.Скромницкий) (2009-11-29). — Документы за 1565-1570 гг., связанные с Титу Куси Юпанки, являвшегося предпоследним правителем Инков. Проверено 29 ноября 2009.
* Гарси Диес де Сан-Мигель. Отрывки из его «Доклада» (1567).

. www.bloknot.info (А.Скромницкий) (2009-11-22). — Опрос правителей провинции Чукуито (окрестности озера Титикака) в регионе Кольясуйу, а также правителей селений (Южное Перу и Боливия). Проверено 22 ноября 2009.
* Поло де Ондегардо, Хуан. «Инструкция по борьбе с церемониями и обрядами, применяемыми индейцами со времён их безбожия» (1567).

. www.bloknot.info (А.Скромницкий) (2010-01-03). — Доклад по вопросам верований индейцев Перу. Проверено 3 января 2010.
* Поло де Ондегардо, Хуан. Доклад о происхождении Инков, и о том, как они расширили свои завоевания (1572).

. www.bloknot.info (А.Скромницкий). — Религия Анд. Религия Инков, их законы, история. Проверено 28 сентября 2009.
* Сармьенто де Гамбоа, Педро, 1532—1592, «История Инков», 1572.
* Молина, Кристобаль де. Доклад о Сказаниях и Обрядах Инков (1575).

. www.bloknot.info (А.Скромницкий). — Религия Инков, их история. Проверено 28 сентября 2009.
* Акоста, Хосе де
* Инка Гарсиласо де ла Вега. История государства Инков.

. www.vostlit.info (Восточная литература). Проверено 28 сентября 2009.
* Авила, Франсиско де. Боги и люди Варочири (1608).

. www.bloknot.info (А.Скромницкий). — Религия Анд. Мифология и легенды Инков и жителей Варочири (Центральное Перу). Проверено 28 сентября 2009.
* Гуаман Пома де Айяла, Фелипе, «Первая Новая Хроника и Доброе Правление», 1615.
* Блас Валера, 1545—1597, «Невиновный изгнанник Блас Валера своему народу Тауантинсуйу» (пер. А.Скромницкий), — Киев, 2008.
* Муруа, Мартин де, «Общая История Перу».
* Монтесинос, Фернандо. Древние Исторические и Политические Памятные Сведения о Пиру.

. www.bloknot.info (А.Скромницкий). — пер. В.Талах. Проверено 28 сентября 2009.

Литература

* Acosta J. Historia natural y moral de las Indias. Biblioteca de Autores Españoles, n.73, Atlas, Madrid, 1954 [1590].

Исследования

* Попова Г. Н. «Математическая культура древнего Перу», — Петербург, изд. «Сеятель», 1923.
* Gary Urton, Primitivo Nina Llanos. The Social Life of Numbers: A Quechua Ontology of Numbers and Philosophy of Arithmetic. — Austin: University of Texas Press, 1997. — 267 с. — ISBN 0292785348, 9780292785342
* Ibarra Grasso, Dick Edgar. Ciencia astronomica y sociologia incaica. — La Paz: Editorial Los Amigos del Libro, 1982. — 439 с. — (Enciclopedia boliviana). — ISBN 8483700166

* Espinoza Soriano, Waldemar (1997). Los Incas, economía, sociedad y estado en la era del Tahuantinsuyo. Lima: Amaru Editores.
* Muxica Editores (2001). Culturas Prehispánicas. Muxica Editores. ISBN 9972-617-10-6.
* Editorial Sol 90 (2003). Historia Universal: América precolombina. Editorial Sol 90. ISBN 9972-891-79-8.
* Fedriani Martel, Eugenio; Tenorio Villalón, Ángel (2004), «Los sistemas de numeración maya, azteca e inca». В книге Lecturas Matemáticas. Volumen 25 (2004), стр. 159—190.
* Rostworowski, María (2004), «Incas». En Enciclopedia Temática del Perú. Lima: Orbis Ventures. ISBN 9972-752-01-1
* Exsul immeritus blas valera populo suo e historia et rudimenta linguae piruanorum. Indios, gesuiti e spagnoli in due documenti segreti sul Perù del XVII secolo. A cura di L. Laurencich Minelli. — CLUEB, Bologna, 2007; br., pp. 590. ISBN 978-88-491-2518-4

См. также

* Кипу
* Юпана

Ссылки

* Gary Urton. Signs of the Inka Khipu: binary coding in the Andean knotted-string records

* Tom Zuidema. El quipu calendarico Pachaquipu

* Лаура Лауренсич Минелли. Новые открытия основополагающих идеологических принципов империи Инков «Тавантинсуйу»: священное в мире Инки, согласно двум тайным иезуитским документам.

* Лаура Лауренсич-Минелли. Любопытное понятие мезоамериканского и андского «нуля предметного» и логика инкских богов-чисел.